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François Nicolas, Des connivences contemporaines entre intellectualités mathématique & musicale

Des connivences entre intellectualités musicale et mathématique

(un programme de travail pour la sixième année de mamuphi)

 

François Nicolas

(mamuphi, 9 octobre 2008)

 

Résumé

· S’il est vrai que l’intellectualité mathématique trouve son impulsion réflexive dans le geste d’Évariste Galois (1833) décidant que les mathématiques doivent « sauter à pieds joints par-dessus les calculs » pour mieux déployer la puissance formelle de leurs concepts, s’il est vrai que depuis lors se dessine une polarisation du champ mathématique (dont le principe touche au rapport déclaré du mathématicien au calcul) entre d’un côté ce qu’Alain Connes appelle « mathématiques fondamentales » et de l’autre ce que le (néo)positivisme appelle « mathématiques pour la modélisation » (voir en ce point le rôle moteur joué par John von Neumann), comment tout ceci concerne-t-il cette intellectualité musicale mamuphi qui se soucie des raisonances musique-mathématiques ?

· S’il est vrai que les rapports musique-mathématiques ne sauraient être entièrement réfléchis de l’intérieur de la musique ni de l’intérieur des mathématiques - l’autonomie de pensée de la mathématique n’est pas intelligible de l’intérieur de la musique, et vice versa -, s’il est vrai qu’il faut donc convoquer la philosophie pour s’orienter dans ces rapports, comment la réactivation actuelle du structuralisme conçu comme mouvement philosophique déployé contre le positivisme (et non comme épistémologie des sciences humaines) peut-elle éclairer les débats mamuphi en cours, en particulier (« anti-humanisme théorique ») en matière de conception non anthropologique de la musique, non anthropomorphique de l’œuvre musicale, non biographique de la monographie musicienne ?

· S’il est vrai que l’entreprise structuraliste constitue une nouvelle donne en matière de théoricité, où s’affrontent deux modes de théorisation – d’un côté des pratiques théoriques, conjoncturellement situées et subjectivement orientées comme interventions stratégiques s’épuisant dans leurs effets ; de l’autre des théories objectivement applicables, outils venant se déposer et s’ajouter à l’encyclopédie des savoirs -, de quelle manière cette ligne de partage éclaire-t-elle les différentes manières de théoriser la musique à la lumière des mathématiques et à l’ombre de la philosophie ?

Sur la base de réponses à ces trois questionnements, on essaiera de clarifier ce qu’il en est de possibles connivences entre intellectualités mathématiques attachées aux « mathématiques fondamentales » (tout particulièrement celle de Grothendieck) et intellectualités musicales attachées à des pratiques théoriques mathématiquement éclairées et s’inscrivant ainsi dans la droite ligne de cette déclaration, contemporaine de la fondation ramiste de l’intellectualité musicale : « Ce n’est que par le secours des Mathématiques que mes idées se sont débrouillées. » (Rameau).

On exposera à ce titre un programme de travail visant à éclairer le monde de la musique par les concepts mathématiques de faisceaux et de topos (Grothendieck / Lawvere). On l’initiera en formalisant mathématiquement l’idée suivante : une œuvre musicale est un faisceau d’interprétations, le faisceau des interprétations d’une partition donnée. Ceci ouvrira à une formalisation possible d’un topos des œuvres musicales.

Comment théoriser la musique au XXI° siècle, à la lumière des mathématiques et à l’ombre de la philosophie ?

Je vais proposer cette réponse : déployer une pratique théorique de la musique, à la lumière du partage des Idées (mathématiciennes) de la mathématique (mathématiques « fondamentales » du concept et mathématiques « modélisantes » du calcul), à l’ombre de l’anti-humanisme théorique déployé philosophiquement par le mouvement structuraliste.

0. Rappels

mamuphi

Décembre 1999 : Forum Diderot « Mathématique et musique » de la SME

2000-20001 - mamuphi (1) : Ircam

2004-2005 - mamuphi (2) : Ens-Ircam

2005-2006 - mamuphi (3) : Ens-Ircam

2006-2007 - mamuphi (4) : Ens-Ircam + école (1)

2007-2008 - mamuphi (5) : Ens-Ircam + école (2)

2008-2009 - mamuphi (6) : Ens-Ircam + école (3)

 

mamuphi = XXI° siècle.

Dépasser la conception du xx° siècle en matière de théorisation musicale avec les mathématiques, massivement néo-positiviste.

mamuphi = affaire de quatre (et pas trois) subjectivités : mathématicienne, musicienne, musicologique, philosophique

musicien

Du côté du musicien (pensif), trois composantes de l’intellectualité musicale :

· théorique – l’interlocuteur privilégié = les sciences, et en priorité les mathématiques

· critique – l’interlocuteur privilégié = les autres arts (pour moi surtout la poésie et l’architecture)

· esthétique – l’interlocuteur privilégié = la politique (pour d’autres les « sciences sociales et humaines »)

L’ensemble se déploie « à l’ombre de la philosophie ».

 

Pour le musicien, la citation-clef :

« Ce n’est que par le secours des Mathématiques que mes idées se sont débrouillées, et que la lumière y a succédé à une certaine obscurité, dont je ne m’apercevais pas auparavant. » Rameau (1722)

musicologue

Du côté de la musicologie, l’ombre constituante est celle du positivisme (voir sa constitution au cœur du XIX°, contemporaine de la constitution des « sciences humaines » à l’ombre du positivisme d’Auguste Comte, lui-même inventeur au demeurant de la sociologie). Et pour les théories musicologiques mathématisées de la seconde moitié du xx°, l’ombre constituante est celle du néo-positivisme (voir la question Krenek et son lien avec le Cercle de Vienne…).

Théoricité

Débat mamuphi : sur la théoricité = sur ce que théoriser veut dire, sur ce qu’est pour nous « le théorique ».

Cf. théoricité/théorique=historicité/historique=systématicité/systématique…

Cf. il y a un an mon intervention « 3 manières de théoriser la musique avec les mathématiques » :

mathématisation – application – expérimentation

(mathématicien – musicologue – musicien)

 

Réévaluer cela aujourd’hui de mon point de vue de musicien.

Rapprocher Rameau de Lautréamont :

« Ô mathématiques concises, […] merci, pour les services innombrables que vous m’avez rendus. Merci, pour les qualités étrangères dont vous avez enrichi mon intelligence. Sans vous, dans ma lutte contre l’homme, j’aurais peut-être été vaincu. » Lautréamont (1869)

Il en va bien, dans mon intellectualité musicale, d’une lutte contre l’humanisme, d’un anti-humanisme théorique.

Trois aspects : déployer

· une conception non anthropologique de la musique,

· une conception non anthropomorphique de l’œuvre musicale,

· une conception non biographique de la monographie.

Bref, déployer une Idée non humaniste du monde de la musique.

1. Philosophie

Pour cela, examiner comment cette position musicienne se déploie à l’ombre du structuralisme conçu comme mouvement philosophique (non pas comme école de sciences humaines et sociales !).

Le structuralisme a promu exemplairement l’anti-humanisme théorique. Cf.

· Althusser : l’expression est de lui

· Foucault : la fin de Des mots et des choses

· Lacan : voir par exemple Réponses à des étudiants sur l’objet de la psychanalyse (19 février 1966 – Cercle d’épistémologie de l’Ens) : « L’anthropologie la meilleure ne peut aller plus loin que de faire de l’homme l’être parlant. […] Or le sujet de la psychanalyse est un être parlé. […] En fait la psychanalyse réfute toute idée jusqu’ici présenté de l’homme. […] L’objet de la psychanalyse n’est pas l’homme ; c’est ce qui lui manque. […] La psychanalyse comme science sera structuraliste  ».

· Badiou : voir par exemple son Second Manifeste pour la philosophie (à paraître en 2009), chapitre 4 - L’existence : « Je vais proposer en revanche un concept de l’être-là et de l’existence sans faire le moins du monde référence à quelque chose comme la conscience, l’expérience ou la réalité humaine ; je reste de ce point de vue dans la lignée anti-humaniste d’Althusser, de Foucault ou de Lacan. »

 

Aller donc y revoir de ce côté-là. Il se trouve qu’un récent article d’Étienne Balibar peut nous servir à cela…

Cf. Huit propositions au sujet du structuralisme

2. Mathématiques

Du côté maintenant des mathématiques, de ce que veut dire pour nous que se disposer comme Rameau et Lautréamont « à la lumière des mathématiques », un récent livre Les Déchiffreurs m’a rendu sensible au contraste entre deux Idées des mathématiques, un partage des Idées que les mathématiciens se font des mathématiques et qui porte sur la manière mathématicienne de calculer, sur la place à donner aux nécessaires calculs dans la pratique mathématicienne, deux Idées mathématiciennes des mathématiques que j’épinglerai selon deux noms propres : celui d’Alain Connes et celui de John von Neumann, deux Idées des mathématiques qui les voient soit comme polarisées par le concept et en ce sens mathématiques « fondamentales », soit comme ordonnées au calcul et en ce sens mathématiques « modélisantes ».

Attention : il ne s’agit pas là à proprement parler de deux types différents de mathématiques, de deux mathématiques (comme on parle de mathématiques pures et de mathématiques appliquées). Il s’agit de deux Idées des mathématiques. Il s’agit donc d’une ligne de partage entre intellectualités mathématiques plutôt qu’entre mathématiques.

Intellectualités mathématiques

D’où l’émergence d’une historicité singulière :

· départ, suggéré par André Lichnerowicz [1] : « Je daterais de Galois, de 1833 [2], la réflexion des mathématiques sur elles-mêmes. » et par Alain Connes [3] : « Ce que Galois a compris, c’est qu’il faut être capable d’aller au-delà des calculs : sans vraiment effectuer concrètement les calculs, comprendre de quelle forme sera le résultat.  »

· prolongation : Dedekind - « il est temps de substituer l’idée au calcul. » [4]

· pivot : John von Neumann autour des années 30 (précisément 1937 : sa naturalisation américaine). Le calcul mathématique prend une nouvelle forme avec la théorie des modèles. Et, comme l’on sait, la notion de « modèle » va subir un retournement complet sous l’effet direct du Cercle de Vienne (Carnap). La notion de « modèle » est au cœur de nos problèmes de « théoriser la musique », de notre théoricité musicale.

Deux dates donc (1832 et 1937) dans l’historicité de l’intellectualité musicale. Je rappelle qu’on peut date de 1750 environ la naissance de l’intellectualité musicale (avec Rameau [5]).

Deux Idées mathématiciennes de la mathématique

Deux Idées (mathématiciennes) de la mathématique : les mathématiques comme fondamentales, les mathématiques comme modélisantes.

Alain Connes : l’Idée des mathématiques du concept (« fondamentales »)

Alain Connes - A view of mathematics (§3.6 ; p. 28-29) :

« This procedure has all the characteristics of fundamental mathematics :

· It bypasses complicated computations.

· It focusses on the key property of the solution.

· It has bewildering power.

· It creates a new concept. »

Ces mathématiques « vont au-delà des calculs » sans « se perdre dans leur complexité » pour privilégier le fait de « les parcourir en pensée » ; « il n’y a pas de [bon] calcul qui ne soit faisable de tête. D’où que pour comprendre un calcul, il faille savoir le faire sans feuille et sans crayon », a fortiori sans ordinateur.

John von Neumann : l’Idée des mathématiques du calcul (« modélisantes »)

John von Neumann – trois citations : la première sur les mathématiques, la seconde sur le calcul, la troisième sur les modèles.

· « In mathematics you don’t understand things. You just get used to them. » [6]

· The calculus was the first achievement of modern mathematics, and it is difficult to overestimate its importance. I think it defines more unequivocally than anything else the inception of modern mathematics”. [7]

·  “The sciences do not try to explain, they hardly try to interpret, they mainly make models. By a model is meant a mathematical construct which, with the addition of certain verbal interpretations, described observed phenomena. The justification of such a mathematical construct is solely and precisely that it is expected to work.”

Idéation

On remarquera que le texte de Connes s’appelle « Une vue des mathématiques » : il s’agit donc bien d’exposer une Idée mathématicienne des mathématiques.

Un des textes significatifs de von Neumann (ici le deuxième cité) s’appelle « Le mathématicien ». Il s’agit donc bien ici aussi de saisir le rapport du mathématicien aux mathématiques.

À l’ombre du Second manifeste de la philosophie d’Alain Badiou, « Idée » ne désigne pas ici une idée mathématique ou une idée musicale (quelque chose d’immanent donc au monde mathématique ou au monde de la musique) mais un rapport du mathématicien/musicien au monde de la mathématique/musique.

· Idée = « ce à partir de quoi un individu se représente le monde », « ce qui fait que le vie d’un individu s’oriente selon le Vrai », « la médiation entre l’individu et le Sujet d’une vérité », « ce par quoi l’individu repère en lui-même l’action de la pensée comme immanence au Vrai », « exposition de l’individu simple à son devenir-Sujet ».

· Idéation = le processus de constitution de l’Idée. Elle est l’affaire de l’individu, non du sujet : « une vie véritable est le résultat d’une Idéation ».

Ce concept philosophique permet donc de penser le rapport du mathématicien/musicien au sujet mathématique/musical du monde mathématique/musical qu’est la théorie mathématique /l’œuvre musicale.

Procédure générique

La Musique

La Mathématique

Monde

Monde-Musique

Monde mathématique [8]

Événement

Schoenberg

Galois

Vérité

Une configuration

Une Théorie

Sujet

une œuvre

un théorème

un dividu

un musicien

un mathématicien

Intellectualité musicale comme Idéation

On peut thématiser l’intellectualité musicale comme constituant une telle Idéation. Ceci a pour intérêt de mettre l’accent sur l’aspect productif de l’intellectualité musicale : elle produit des Idées musiciennes de/sur la musique. L’intellectualité musicale n’est donc pas simplement l’exposition dans la langue du musicien de la pensée musicale à l’œuvre ; elle est productrice d’Idées musiciennes, radicalement différentes d’une projection dans la langue des idées musicales à l’œuvre.

· La dimension théorique de l’intellectualité musicale produit une Idée de la musique.

· La dimension critique de l’intellectualité musicale produit une Idée de telle ou telle œuvre.

· La dimension esthétique de l’intellectualité musicale produit une Idée des rapports du monde de la musique à son environnement extérieur.

Propriétés distinctives de ces deux Idées

Idée des mathématiques comme fondamentales

Quatre (+1) propriétés distinctives des mathématiques vues comme fondamentales (cf. A. Connes [9]), dégagées par l’orientation galoisienne :

· rapport singulier au calcul : ces mathématiques « sautent à pieds joints sur les calculs » compliqués (Galois), elles « vont au-delà des calculs » (Connes) sans « se perdre dans leur complexité » pour privilégier le fait de « les parcourir en pensée » ; « il n’y a pas de [bon] calcul qui ne soit faisable de tête. D’où que pour comprendre un calcul, il faille savoir le faire sans feuille et sans crayon », a fortiori sans ordinateur ;

· concentration corrélative sur les propriétés-clef des choses mathématiques examinées ;

· création de nouveaux concepts ;

· puissance de rayonnement qui s’en dégage.

Propriété supplémentaire, qui en découle : cette vision des mathématiques ne les rapporte pas aux autres domaines de pensée selon un rapport d’application ; essentiellement, cette Idée des mathématiques inverse le « foncteur » en sorte que ce sont ici les mathématiques qui sont stimulées par le domaine exogène : les mathématiques d’Euler s’intéressent à la musique comme les mathématiques de Connes s’intéressent à la physique pour elles-mêmes (et non « pour » la musique ou « pour » la physique).

autre domaine → mathématiques

Idée des mathématiques comme modélisantes

On désigne par là cette Idée des mathématiques qui les énonce usuellement comme « mathématiques pour la modélisation » (de l’économie, de la sociologie, et désormais de la musicologie !).

Leurs propriétés distinctives sont symétriques de celles des mathématiques fondamentales :

· leurs principales ressources mobilisent la capacité mathématique de calculer ;

· concentration sur la capacité de déléguer ces calculs à l’informatique : de les « implémenter » ;

· création de nouvelles formules-équations « computables » ;

· puissance du calcul mathématique pour irriguer « les sciences humaines » ;

5° propriété : cette Idée des mathématiques les rapportent aux autres domaines de pensée essentiellement sous la modalité d’une application :

mathématiques → autre domaine

Repères historiques sur les mathématiques « modélisantes » [10]

Le mot « modèle »

 À l’origine, le mot « modèle » désigne l’original à copier.

Ainsi dans l’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert un modèle est ce qu’on regarde comme original et dont on se propose d’exécuter la copie. [11]

Il ne prendra son second sens – celui de maquette ou de « modèle réduit » - qu’entre les deux guerres et ce au moment même où des mathématiciens élaborent de leur côté « la théorie [logique] des modèles » [12] ; d’où un croisement [13] dans ces années entre les deux sens opposés du même mot.

 L’introduction de modèles mathématiques se fait par la physique à la fin du XIX° et la paternité, selon Boltzmann, en revient à Maxwell (et Helmholtz). [14] Apparemment le mot « modèle » n’est cependant pas encore employé comme tel.

 Dès 1925, John von Neumann construit plusieurs « modèles » arithmétiques de la théorie des ensembles. Ce serait la première fois que le mot est employé dans ce sens avant d’être adopté par Tarski, Carnap et le Cercle de Vienne.

 Dans les années 30, le terme de « modèle » surgit chez des économistes et statisticiens, tous plus ou moins influencés par les néo-positivistes du Cercle de Vienne. [15]

 Au total, Von Neumann joue un rôle emblématique dans le déploiement de cette problématique de la modélisation mathématique. Cf. en 1955 [16] :

“We must emphasize a statement […] which must be repeated again and again. It is that the sciences do not try to explain, they hardly try to interpret, they mainly make models. By a model is meant a mathematical construct which, with the addition of certain verbal interpretations, described observed phenomena. The justification of such a mathematical construct is solely and precisely that it is expected to work.”

 Tout ceci s’accompagne de l’affirmation de nouvelles branches mathématiques [17] : mathématiques discrètes, théorie des algorithmes, analyse numérique, théorie des codes, probabilités et statistiques, etc.

John von Neumann (1903-1957)

S’il fallait rehausser l’unité dialectique des deux pôles (fondamentales/modélisatrices), il suffirait de rappeler qu’Alain Connes s’est fait connaître en parachevant la classification des algèbres… de von Neumann et qu’ils ont tous deux trouvé une impulsion décisive pour leur travail mathématique dans le monde non-commutatif de la mécanique quantique (voir plus bas).

On sait par ailleurs que von Neumann est à l’origine (1925) de l’axiome de fondation de la théorie des ensembles (et, plus généralement, de l’axiomatisation dite de von Neumann–Bernays–Gödel : NBG) [18] : c’est dire qu’il n’avait rien à apprendre en matière de mathématiques fondamentales ! C’est lui qui aurait (voir plus haut) pour la première fois (1925) employé le mot « modèle » en son sens logique de la théorie des modèles (et non pas son sens positiviste de modèle mathématique).

En 1932 il publie Les Fondements mathématiques de la mécanique quantique (The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics).

Sur l’autre versant (mathématique modélisatrice), notons qu’il publie en 1944 avec Oskar Morgenstern La Théorie des jeux et comportements économiques (The Theory of Games and Economic Behavior) – dès 1928, il est démontre le théorème du minimax… -, qu’à partir de 1937 (citoyenneté américaine), il collabore aux programmes militaires des États-Unis (Projet Manhattan  : il aurait calculé l’altitude précise où faire exploser les bombes d’Hiroshima et Nagasaki en sorte d’en maximiser les dommages…). Il donne également son nom à l’architecture de von Neumann des ordinateurs comme à la machine de von Neumann des automates cellulaires.

« In mathematics you don’t understand things. You just get used to them. » [19]

von Neumann concentre ainsi cette polarité intra-mathématique, son histoire personnelle étant emblématique du basculement d’un pan considérable des mathématiques vers leur puissance modélisatrice désormais adossée à la puissance du calcul informatisé.

S’il fallait dater symboliquement ce développement de la math « modélisatrice », il faudrait choisir une année dans la décennie 1930, et peut-être 1937 (citoyenneté américain de von Neumann).

Voir aussi le texte de von Neumann The Mathematician (1947) :

The calculus was the first achievement of modern mathematics, and it is difficult to overestimate its importance. I think it defines more unequivocally than anything else the inception of modern mathematics”.

3. Musique

La polarité précédente, intra-mathématique, nous intéresse car elle relève deux types de rapports aux mathématiques, deux manières de théoriser « à la lumière des mathématiques » selon que la lumière mathématique sera celle des concepts ou celle des calculs. D’où deux manière de thématiser la place du « modèle » dans notre effort théorique.

Connivences

C’est cela que je propose d’appeler « connivences » entre intellectualités, entre mathématiciens et musiciens plutôt qu’entre mathématiques et musique (où je préfère parler de raisonances).

Pratique théorique du musicien / théorie musicologique

Il y a deux manières de thématiser ce que théoriser veut dire :

· pratique théorique, celle des musiciens – théoriser sans produire pour autant de théories à proprement parler [20] - ; c’est la musique qui occupe la position de modèle dans cette pratique théorique ; la lumière des mathématiques se fait par ses concepts (le concept d’intégrale dans ma théorisation de l’audition et de l’écoute musicale ; le concept de diagramme catégoriel dans ma théorisation du concert de musique ; le concept de faisceau et de topos de faisceaux dans ma théorisation en cours d’un monde des œuvres musicales).

· produire une théorie formalisée, celle des musicologues ; c’est la mathématique qui constitue un « modèle théorique » ; la lumière des mathématiques est essentiellement gagée sur sa puissance calculatoire : il est de l’essence de ces théories de déboucher sur des implémentations informatiques.

 

Théorisations

Pratique théorique

Théorie

Subjectivité

du musicien

du musicologue (ou pour lui)

À la lumière des mathématiques :

de leurs concepts

(mathématiques « fondamentales »)

de leur puissance de calcul

(mathématiques « modélisantes »)

Où est le « modèle » ?

du côté de la musique

(logique : « théorie des modèles »)

du côté des mathématiques

(applications : « modèle théorique »)

Mathématiques→Musique

Interprétation

Application

Musique→Mathématiques

Formalisation

Modélisation

Le rapport à la mathématique

mathémisation

mathématisation

Diagrammatisation [21] :

À l’ombre de quelle philosophie ?

« Structuralisme » philosophique

Positivisme des sciences humaines

Néopositivisme cognitiviste

Résultat de la théorisation :

Une Idée musicienne

Une théorie musicologique

 

Exemple : éclairage de la musique par le concept de faisceau

Travail engagé, sur la vertu éclairante, pour l’intellectualité musicale, de ce concept, un des plus importants de la géométrie algébrique.

Objectif : nullement une « théorie », calculatoire, applicable, implémentable…

Logique = expérimentation de pensée : qu’est-ce que ce concept de faisceau peut nous aider à penser en musique ? Je propose de l’examiner en braquant ce projecteur sur ce que ce qu’est qu’une œuvre, plus précisément sur les rapports entre une partition et ses interprétations.

voir fichier spécial Programme de travail sur faisceaux et topos en musique

 

4. Discussion

On trouvera un compte rendu de la discussion qui a suivi cet exposé dans le texte :

15 questions ou objections, et autant de premières réponses

 

*


[1] in Alain Connes, Triangle de pensées, p. 35

[2] Il s’agit sans doute de 1832 puisqu’Évariste Galois est mort le 31 mai 1832…

[3] in Les Déchiffeurs (p. 16)

[4] rapporté par Christian Houzel

[5] Voir la thèse en cours de Nancy Mentelin-Diguerher

[7] The Mathematician (1947)

[8] Connes énonce explicitement qu’un tel monde est connexe et unique.

[9] A view of mathematics (§3.6 ; p. 28-29) :

« This procedure has all the characteristics of fundamental mathematics :

It bypasses complicated computations.

It focusses on the key property of the solution.

It has bewildering power.

It creates a new concept. »

[10] Voir le numéro spécial Modèles et modélisations (1950-2000) de la Revue d’histoire des sciences (juillet-décembre 2004)

[11] p. 452

[12] Selon Pierre Wagner (in Enquête sur le concept de modèle, sous la dir. de Pascal Nouvel ; Puf, 2002 ; p. 20), l’expression « théorie des modèles » serait due à Tarski et daterait de 1954.

Il rappelle au passage (p. 7) que si « la théorie des ensembles est une théorie », par contre « la théorie des modèles n’est pas une théorie » mais une partie de la logique.

[13] p. 249

[14] p. 246-7

[15] p. 248

[16] p. 256

[17] p. 450-1

[18] C’est lui aussi qui est à l’origine de la notion d’ensemble transitif.

[20] comme le structuralisme a mis en o une systématicité sans produire à proprement parler des systèmes…

[21] cf. Charles Alunni…

 

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