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René Guitart, Du passage du ternaire au binaire et réciproquement dans la modélisation mathématique

La modélisation mathématique, par exemple en musique, est basée sur des "structures algébriques" déterminées en général par des lois de compositions binaires. Est-ce naturelle ? Est-ce simple ? En fait il est parfois mieux d’utiliser des lois de compositions ternaires.

Il arrive alors que les axiomes soient plus naturels, les calculs plus simples. En fait si ce que l’on modélise est rythmé par 3, si les objets s’y disposent spontanément par 3, alors présenter la situation par un système binaire reste artificiel. C’est comme cette conception malheureuse de Jean Dieudonné qui rejetait les espaces affines au profit des espaces vectoriels ; au prix de l’artifice de fixer une origine dans l’espace, alors que celui-ci est pourtant sans origine. La réduction du 3 au 2 dépend de façon analogue de systèmes de choix artificiels d’origines. C’est possible, cela permet un développement analytique plus élémentaire mais parfois plus aveugle, mais il ne faut pas alors oublié ensuite d’analyser les effets de ces choix, ce qui, en réalité relève d’une petite analyse cohomologique (disons d’effets de torseurs). On gagne par exemple à examiner comme ternaire la loi sur une cubique. Au passage on réexaminera l’idée d’objet borroméen, et le groupe de Klein $G_168$ sera revue à l’aide d’une loi ternaire. En fait je montrerai comment en général la représentation du ternaire dans le binaire est possible, à travers notamment un théorème de Post un théorème de Gluskin-Hoszu, un théorème de Tamari-Ginsburg, et enfin un théorème de représentation par semi-anneaux. Le résultat est donc, pour les musiciens, qu’ils pourront dès lors commencer certains modèles au niveau de leur naturel ternaire, pour ensuite seulement, si nécessaire pour l’analyse, réduire automatiquement au binaire. Cette démarche peut sembler préférable à celle où d’emblée le modélisateur essaie directement d’utiliser les outils binaires connus à disposition, même si en fait ceux-ci ne s’adaptent que mal, suivant des contorsions difficiles. et incontrôlées.

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