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Extension de Kan et écoute musicale « élargie » d’une œuvre musicale « mixte »

Extension de Kan et écoute musicale « élargie » d’une œuvre musicale « mixte »

(mamuphi, 9 octobre 2010)

 

« Aujourd’hui, la musique a besoin de quelque chose d’hétérogène pour rester art. » (d’après Adorno) [1]

 

Il s’agira d’examiner l’aptitude d’une notion mathématique – celle d’extension de Kan [EK] - à formaliser ce que nous proposons d’appeler l’écoute musicale élargie d’une œuvre musicale mixte [OMM].

Nous repartirons pour cela des résultats d’un précédent travail (présenté en mamuphi le 10 octobre 2009 et disponible sous forme du chapitre D.II d’un prochain livre – le monde-Musique - à paraître en 2011) [2]. On y thématise l’OMM (ou œuvre musicale accueillant en son sein un flux hétérogène – texte, chorégraphie, vidéo… - sans pour autant l’homogénéiser à la musique ou se contenter de l’accompagner musicalement) comme « extension auratique de l’œuvre musicale ».

On se demandera alors : existe-t-il, corrélativement à l’extension de l’objet musical en question, une extension de son écoute (soit une extension d’un rapport musical à cet objet étendu) ? L’écoute musicale de l’OMM peut-elle être ainsi pensée comme une extension de l’écoute musicale « ordinaire » ? Dans quelle mesure l’OMM invente-t-elle une écoute proprement musicale du flux non musical accueilli ? Par exemple, y a-t-il une manière proprement musicale d’écouter le poème chanté par/dans un lied ?

C’est en ce point que la notion mathématique d’EK va être mobilisée (quand celles d’extensions algébrique et générique nous avaient éclairés sur l’extension d’objet constituant l’OMM).

On commencera par rappeler les notions techniques de foncteurs adjoints et d’extension de Kan.

On formalisera ensuite notre problème avec ces notions en sorte de préciser ce que l’énoncé suivant veut dire : « l’écoute musicale de l’OMM est formalisable comme EK d’une écoute de la musique à l’œuvre ».

On en viendra à la question suivante, mathématiquement délicate (« non triviale » nous disent Barr & Wells) [3] mais musicalement essentielle : cette extension d’écoute est-elle constructible pas à pas (« pointwise  » disent les anglo-saxons) ? Soit, en première approche : cette écoute musicale élargie est-elle constructible localement à partir de l’écoute musicale ordinaire ou relève-t-elle d’une édification globale, sans embrayage local ?

On thématisera d’abord ce que « construction point par point » (pointwise) veut mathématiquement dire (au moyen de différents exemples mathématiques) et on examinera ensuite son ajustement à notre question, ce qui reviendra à examiner techniquement le point suivant : dans quelles conditions un extension de Kan est-elle constructible point par point ?

On s’appuiera, pour ce faire, sur trois présentations mathématiques :

 celle de René Guitart lors de son quatrième cours mamuphi « Catégories et structures » du 6 mai 2010 [4]

 celle de Barr & Lane dans Toposes, Triples and Theories (Kan extensions  : p. 56-61)

 celle de Mac Lane dans Categories for the working mathematician (chap. X : Kan Extensions) [4]

On s’attaquera ensuite à la démonstration mathématique du théorème suivant [1] : « dans certaines conditions, la construction point par point d’un foncteur adjoint par limites (ou colimites) produit une extension de Kan à droite (ou à gauche) ».

On examinera ce que ce développement mathématique éclaire quant à notre problème musical.

On en conclura trois points, intéressants directement l’intellectualité musicale de l’OMM :

1. Une écoute musicale élargie s’affirme immédiatement à une échelle globale sans transiter par une construction localement constituée.

2. L’éventuelle décision musicale qui imposerait a contrario un embrayage local, un contrôle point par point, une constructibilité généralisée du rapport auditif à l’OMM (on la nommera « décision boulézienne »), conduirait à thématiser ce rapport auditif comme simple perception/audition et non comme écoute musicale proprement dite.

3. La vertu musicale propre de l’OMM réside ainsi en une dialectique entre construction point par point de son aura poétique et écoute globale du flux hétérogène qui l’a fécondée.

Soit la conclusion très simple suivante : le lied (par exemple) ouvre à une écoute proprement musicale de son poème mais, si ce lied construit bien ponctuellement son extension auratique (comme on l’a montré en octobre 2009), pour autant l’écoute musicale de ce lied balance entre écoute de proche en proche au fil de la musique et écoute uniquement globale de l’intension du poème.

Au total, l’OMM est une extension localement constituée mais l’extension de son écoute est globalement constituante d’une écoute musicale de l’hétérogène.


[1] Son énoncé exact est : « L’art a besoin de quelque chose qui lui est hétérogène pour devenir art. »

[2] Fichier pdf

[3] Toposes, Triples and Theories - p. 57

[4] Plus spécifiquement ici X.3

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