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15 mars 2012 : Cours de mathématiques de René Guitart

Dans la présentation catégorielle, les notions de produit [1] (∏ - ⊗) et de somme [2] (∑ - ⊕) [3] sont duales : une simple inversion du sens des flèches [4] fait commuter d’une notion à l’autre. Cette symétrie formelle (ou syntaxique) se voit souvent contredite par une dissymétrie interprétative (ou sémantique) des concepts qui peuvent tomber sous ces notions, à commencer en arithmétique par la multiplication et l’addition [5]. Ainsi de nombreuses interprétations viennent dissymétriser la dualité formelle de ces notions. Tel est par exemple le cas pour les modèles suivants : dans le champ politique entre les concepts d’égalité (à la française) (∏) et de liberté (à l’anglo-saxonne) (∑) ; dans le champ mamuphi entre les idées de raisonance (∏) et d’application (∑) ; de manière plus générale entre les notions de mise en parallèle (∏) et de mise en série (∑) ; et bien sûr dans le champ musical entre les catégories d’harmonie (∏) et de mélodie (∑), d’écoute (∏) et d’audition (∑), de thème générateur (∏) et de cothème récapitulatif (∑), de variations schubertiennes (∏) et de développement beethovénien (∑) sans compter la Moment-Form stockhausénienne (∏) versus la déduction boulézienne (∑)…
Il est cependant des domaines où l’interprétation de ces notions préserve leur symétrie formelle. Ainsi dans l’arithmétique avec les notions de pgcd (∏) et de ppcm (∑) ; en théorie des ensembles avec les notions d’intersection (∏) et d’union (∑) ; en logique formelle avec le couple du « et » (∏) et du « ou » exclusif (∑) ; dans la logique philosophique du transcendantal [6] avec le couple de la conjonction (∏) et de l’enveloppe (∑)…
On se posera alors la question suivante : qu’en est-il, dans ce contexte, d’une esquisse entendue en son sens catégoriel (c’est-à-dire comme articulation directe entre sommes et produits) ? Plus précisément qu’en est-il d’une éventuelle interprétation, dans un modèle spécifique donné, des morphismes catégoriels - propres aux esquisses - entre produits et sommes ? Comment mesurer dans le modèle la différence entre relations endogènes à ce modèle (ou relations sémantiques) et interprétations dans ce modèle des relations théoriques (relations formelles, ou syntaxiques) ?
Par exemple, dans le diagramme suivant, comment prendre musicalement mesure de la différence entre les rapports proprement musicaux (figurés en bleu) [7] entre harmonie et mélodie et des rapports (figurés en rouge pointillé) entre ces mêmes catégories musicales mais cette fois transposés des rapports formels (ou théoriques) entre ∏ et ∑ ?
On appropriera cette interrogation à deux situations musicales spécifiques.

1)  Qu’en est-il dans cette situation musicale singulière que constitue le choral de Jean-Sébastien Bach où l’alternative discours polyphonique (superposition de mélodies, ou produit de sommes :∑⊗∑) / discours harmonique (succession d’accords, ou somme de produits : ∏⊕∏) est rendue indécidable ?

2)  Qu’en est-il, de manière cette fois plus prospective, dans une mise en parallèle hétérophonique d’un discours musical et d’un discours langagier (∑musical ⊗ ∑langagier) ? Où il s’agira d’explorer, à nouveaux frais, la question lancinante des spécificités de l’œuvre musicale composite en sorte d’en formuler quelque mathème…

[1] produit direct d’objets
[2] somme disjointe d’objets
[3] limites projectives et colimites injectives (ou inductives)…
[4] morphismes projectifs et injectifs (ou inductifs)…
[5] La distributivité de la multiplication sur l’addition ne 
s’accompagne pas d’une distributivité symétrique de la seconde 
sur la première.
[6] Logiques des mondes (Badiou)
[7] dont la dissymétrie est ici indexée des deux noms propres Rameau 
et Rousseau…

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