Cirphles
�cole normale sup�rieure CNRS
> Mamuphi > Archives > Année 2012-2013 > Séminaire Mamuphi 2012-2013 > Alessio Moretti : La somme et le produit d’hexagones logiques

Alessio Moretti : La somme et le produit d’hexagones logiques

8 décembre 2012

Résumé

La « théorie de la n-opposition » (2004), qui généralise les notions d’« hexagone logique » (1950) et de « tétrahexaèdre logique » (1968) – eux-mêmes généralisant la notion traditionnelle de « carré logique » ou « carré des oppositions » (2ème siècle) – est-elle, comme le prétendent certains, une « géométrie oppositionnelle », à savoir l’embryon d’une nouvelle branche des mathématiques (les mathématiques de l’objet théorique « opposition ») ? Dans cet exposé nous suggérons de répondre à cela par l’affirmative en nous basant sur un résultat nouveau que nous allons exposer et qui est qu’il est possible de mettre à jour, pour les structures oppositionnelles de ladite géométrie, des opérations de « somme » et de « produit ». Nous allons plus précisément présenter et expliquer ces opérations sur les hexagones logiques, première étape vers l’établissement futur en bonne et due forme d’une somme et d’un produit oppositionnels, résultat ouvrant à son tour à une reformulation de la géométrie oppositionnelle dans les termes mathématiquement généraux de la « théorie des catégories ».

Présentation plus détaillée

L’hexagone logique est connu depuis 1950 comme étant une structure mathématique étrange mais puissante, qui contient en plusieurs exemplaires symétriques le mystérieux « carré logique ». Depuis 2004 une théorie formelle renouvelée de l’opposition fournit un algorithme général tel que le carré et l’hexagone logiques ne sont que deux cas particuliers (pour n=2 et n=3) d’une « théorie de la n-opposition ». Suite à la mise à jour de plusieurs autres résultats (comme les notions de « clôture » et de « générateur » oppositionnels) l’idée semble se faire jour qu’une telle théorie pourrait en fait n’être rien moins qu’une nouvelle jeune branche des mathématiques : la notion d’« opposition » pourrait dès lors être mise sur le même plan prestigieux que les notions, déjà mathématisées avec succès, de « nœud », « graphe », « catégorie », etc. Les conséquences philosophiques et épistémologiques de cela semblent être considérables : d’une part une telle notion d’opposition est un concept bien plus puissant et naturel que celui logico-mathématique de « négation » (qu’il inclut comme un cas particulier) ; d’autre part cela pourrait sonner le glas de la « philosophie analytique », dans sa prétention hégémonique comme base des formalisations des sciences humaines, et signaler la « résurrection » (au sens technique que Badiou donne à ce terme spirituel) du paradigme transdisciplinaire « structuraliste » (celui qui va de Saussure à Greimas). Toutefois, ce qui manque à ce jour pour que l’on puisse parler de manière convaincante d’émergence d’une nouvelle branche des mathématiques c’est un analogue, pour les structures oppositionnelles, des notions de « somme » et de « produit », qui sont transversales à toutes les mathématiques connues. Les obtenir pour des structures oppositionnelles ouvrirait enfin la voie à l’expression de la géométrie oppositionnelle dans la lingua franca mathématique de la « théorie des catégories » (la théorie qui a pris la place fondationnelle de la « théorie des ensembles »). Dans cet exposé nous proposons une première série de résultats formels qui montrent que de telles opérations de somme et de produit existent bel et bien pour les hexagones logiques pris comme opérandes. Nous allons essayer d’expliquer le sens spécifique que ces opérations prennent dans le domaine oppositionnel, ainsi que ce que l’on peut pour l’heure imaginer de leur probable généralisation future.

  |   Contacts & Plans  |   Mentions légales  |   Plan du site  |   Suivre la vie du site RSS