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François Nicolas, Comment l’invention de l’algèbre redistribue ce que calculer, théoriser et démontrer veulent dire

23 mars 2013

Le Bagdad arabe et musulman du Haut Moyen-Âge (à partir du IX° siècle) invente une technique de calcul (par « réduction » et « comparaison ») qui, sous le nouveau nom d’algèbre (réduction = « al-jabr »), s’avère constituer un calcul de type nouveau : « une arithmétique de l’inconnu ».

Comment cette nouvelle discipline va affecter une mathématique antiquement partagée entre arithmétique des nombres et géométrie des figures ? Comment l’algèbre, émergeant comme greffe latérale des mathématiques (telle notre informatique contemporaine), va-t-elle se déployer en une nouvelle discipline mathématique à part entière ? Ajouter ainsi une troisième discipline à la diversité mathématique existante impliquait d’établir l’autonomie relative de l’algèbre tout en assurant son unification à l’arborescence mathématique. Cette vaste entreprise va nécessiter un remaniement d’ensemble de ce que calculer, théoriser et démontrer voulaient alors mathématiquement dire.

L’enjeu de cet exposé sera de présenter cette émergence et cette recomposition mathématiques, leurs conditions de possibilité et leurs effets idéologico-philosophiques. Où l’on découvrira que cette épopée mathématique (IX°-XII°… siècles) n’est pas, mille ans plus tard, exempte de raisonances en matière d’intellectualité musicale contemporaine.

I. Calculer, théoriser, démontrer ?

  L’audace fondatrice d’Al-Khawârizmî (825) est de renverser l’ordre ancestral des raisons (qui circulait naturellement du connu vers l’inconnu) pour calculer désormais en partant de l’inconnu. L’idée directrice va être de calculer sur le réseau des relations connaissables (« équation ») qui enserrent l’inconnu en question ; le calcul mathématique s’en trouve engagé sur une nouvelle voie, circulant désormais de l’obscur vers la clarté (et non plus par extension prudente d’une zone clairement balisée) par opérations réglées sur des signifiants opaques (la « chose » inconnue - chay’ - et ses acolytes également inconnus configurant « un calcul de la poussière ») qui deviendront ultérieurement (XVI° siècle) le calcul sur la lettre aveugle x. Il s’agira ici de prendre mesure du courage de pensée qu’a impliqué cette décision : sauter à pieds joints dans l’obscurité pour mieux y tresser les enchaînements d’une nouvelle raison calculatrice.

  De quelle manière ce calcul d’un type nouveau autorise-t-il de nouvelles manières de théoriser mathématiquement ? On associera cette extension au nom d’Al-Khayyâmî (1048-1131). Si l’invention de l’algèbre vise initialement à théoriser mathématiquement des problèmes non mathématiques du monde (problèmes d’arpentage, d’astronomie, de fiscalité, etc.), l’algèbre va devoir ensuite recourir à la géométrie pour solutionner ceux des nouveaux problèmes algébriques qui s’avèrent alors algébriquement insolubles. Il s’agira ici de prendre mesure de la nouvelle stratification ainsi engagée (algèbre géométrisée) où la géométrie vient seconder théoriquement une algèbre embourbée dans sa formalisation de problèmes non mathématiques.

  Enfin, on examinera les transformations de la notion même de preuve mathématique auxquelles cette invention va donner lieu : les résultats algébriquement produits sont-ils en effet mathématiquement démontrables et pas seulement empiriquement vérifiables ? La nouvelle rationalité algébrique, qui fait ses preuves en matière de calcul (fidélité créatrice à l’arithmétique et à ses opérations), saura-t-elle également faire ses preuves en matière de démonstration (fidélité créatrice cette fois à la géométrie et à son axiomatique déductive) ? D’où deux voies, l’une produisant des démonstrations hybrides, circulant librement entre arithmétique, géométrie et algèbre (Al-Karajî, 953-1029), l’autre s’attachant à inventer des démonstrations proprement algébriques (Al-Samaw’al, 1130-1175). On rehaussera en particulier le défi que constitue la première voie en remarquant qu’il brave l’antique interdit dressé par Aristote dans les Seconds analytiques : « On ne peut prouver une proposition géométrique par l’arithmétique ! ».
 

II. Raisonances mamuphiques ?

S’agissant d’un séminaire s’intéressant aux raisonances entre pensées mathématiques, musicales et philosophiques, on se demandera d’abord à quelles conditions tout ceci a-t-il été rendu possible : conditions linguistiques, idéologiques, politiques, etc.

On se demandera ensuite ce que cette glorieuse épopée peut nous aider à réfléchir en matière de musique.

  Calculer sur l’inconnu en l’enserrant dans un réseau connaissable de relations, n’est-ce pas là une ressource essentielle de tout travail précompositionnel ?

 Géométriser l’algèbrisation d’un modèle non mathématique, n’est-ce pas en partie analogue à mathématiser la théorisation (musicologique ou musicienne) d’un modèle musical (même si, bien sûr, la première disposition opère au sein de mathématiques intérieurement unifiées quand la seconde circule entre disciplines - mathématique et musicale - essentiellement hétérogènes) ?

 Prouver mathématiquement en faisant feu de tout bois sans crainte de mettre à mal l’antique impératif aristotélicien en matière de démonstration mathématique n’équivaut-il pas à développer musicalement sans crainte de mettre à mal les traditionnels interdits néopositivistes en matière de déduction musicale ?

  Plus largement, si l’émergence d’une nouvelle figure de la raison (ici algébrique) au sein d’un monde de pensée (ici mathématique) repose sur le courage de braver des interdits (traditionnellement travestis en présumées impossibilités : « on ne peut… »), tout de même le monde de la musique ne se trouve-t-il pas globalement réinterrogé chaque fois qu’une nouvelle figure de la sensibilité sonore vient à émerger ? On avancera ici deux exemples opposés :

 D’un côté l’échec de Pierre Schaeffer à traiter ses nouveaux « objets sonores » en discipline proprement musicale a courageusement conduit Michel Chion à fonder un « art des sons fixés » explicitement hétérogène à la logique musicale et exogène donc au monde de la musique (tout comme informatique et logique mathématisées restent finalement aux frontières du monde propre des mathématiques).

 D’un autre côté l’émergence du jazz au cours du XX° siècle a conduit le monde-Musique à des effets intramusicaux d’ensemble ; on ouvrira ce faisant à la séance ultérieure du séminaire mamuphi (Fréderic Maintenant et François Tusques, 6 avril 2013) qui examinera comment l’aventure d’un « jazz sériel » a pu, elle aussi, braver quelques cloisonnements néo-aristotéliciens.

 

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